12В (ЕГЭ 2014). Высоты \(B{B_1}\) и \(C{C_1}\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H.\)
а) Докажите, что \(\angle AH{B_1} = \angle ACB.\)
б) Найдите BC, если \(AH = 8\sqrt 3 \) и \(\angle BAC = {60^\circ }\).
б) Пусть AB = x. Тогда по определению синуса из треугольника ABB1: \(\sin {60^ \circ } = \frac{{B{B_1}}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{B{B_1}}}{x}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,B{B_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,\) а \(A{B_1} = \frac{x}{2}\) (катет напротив \(\angle AB{B_1} = {30^ \circ }\)). Прямоугольные треугольники AHB1 и BB1C подобные (по двум углам). Тогда: \(\frac{{A{B_1}}}{{B{B_1}}} = \frac{{AH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BC = \frac{{AH \cdot B{B_1}}}{{A{B_1}}} = \frac{{8\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot x}}{{\frac{1}{2} \cdot x}} = 24.\) Ответ: 24.
а) Проведём высоту AA1. Пусть \(\angle BH{A_1} = \alpha \), тогда \(\angle HB{A_1} = {90^ \circ } — \alpha \) и \(\angle BCH = \alpha .\) Углы BHA1 и AHB1 равны как вертикальные. Следовательно, \(\angle AH{B_1} = \angle ACB.\) Что и требовалось доказать.