13В (ЕГЭ 2016). В треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AK\) и \(CM.\) На них из точек \(M\) и \(K\) опущены перпендикуляры \(ME\) и \(KH\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(EH\) и \(AC\) параллельны.
б) Найдите отношение EH : AC, если \(\angle ABC = {30^ \circ }.\)
б) Так как \(\angle ABC = {30^ \circ },\) то \(\angle BAK = {60^ \circ },\) \(\angle AME = \angle MOA = {30^ \circ }.\) Пусть AM = x. Тогда из треугольника AME катет \(AE = \frac{x}{2}\) (катет напротив угла \({30^ \circ }\)), а из треугольника AMO гипотенуза \(AO = 2x\), \(EO = AO — AE = 2x — \frac{x}{2} = \frac{{3x}}{2}.\) Так как \(EH\parallel AC\), то треугольники OEH и OAC подобны. Тогда: \(\frac{{EH}}{{AC}} = \frac{{OE}}{{OA}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{EH}}{{AC}} = \frac{{\frac{3}{2}x}}{{2x}} = \frac{3}{4}.\) Ответ: 3:4.
а) Так как \(\angle AMC = \angle AKC = {90^ \circ },\) то вокруг четырёхугольника AMKC можно описать окружность, диаметром которой является AC. Тогда \(\angle KAC = \angle KMC,\) так как они опираются на одну дугу KC окружности описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Так как \(\angle MEK = \angle MHK = {90^ \circ },\) то вокруг четырёхугольника MEHK можно описать окружность, диаметром которой является MK. Тогда \(\angle KEH = \angle KMH,\) так как они опираются на одну дугу KH окружности описанной вокруг четырёхугольника MEHK. Так как \(\angle KAC = \angle KEH,\) то прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении прямых EH и AC секущей OA. Что и требовалось доказать.