Профиль №17. Треугольник и его элементы. Задача 14Вmath100admin44242023-09-28T21:36:42+03:00
14В. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки M и N — середины отрезков AB и CH соответственно.
а) Докажите, что треугольники A1MB1 и A1NB1 равнобедренные.
б) Найдите площадь четырёхугольника A1MB1N, если A1B1 = 6 и MN = 4.
Решение
а) Медианы A1M и B1M прямоугольных треугольников A1AB и B1AB, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы AB. Поэтому \({A_1}M = {B_1}M = \frac{1}{2}AB.\) Следовательно, треугольник A1MB1 равнобедренный. Аналогично медианы A1N и B1N прямоугольных треугольников A1CH и B1CH, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы CH. Поэтому \({A_1}N = {B_1}N = \frac{1}{2}CH.\) Что и требовалось доказать.
б) Каждая из точек M и N равноудалена от концов отрезка A1B1. Значит, MN — серединный перпендикуляр к отрезку A1B1. Диагонали A1B1 и MN четырёхугольника A1MB1N перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей. Следовательно,
\({S_{{A_1}M{B_1}N}} = \frac{{MN \cdot {A_1}{B_1}}}{2} = \frac{{6 \cdot 4}}{2} = 12.\)
Ответ: 12.