Профиль №17. Треугольник и его элементы. Задача 14В

14В. Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки M и N — середины отрезков AB и CH соответственно.

а) Докажите, что треугольники A₁MB₁ и A₁NB₁ равнобедренные.

б) Найдите площадь четырёхугольника A₁MB₁N, если A₁B₁ = 6 и MN = 4.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

а) Медианы A₁M и B₁M прямоугольных треугольников A₁AB и B₁AB, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы AB. Поэтому \({A_1}M = {B_1}M = \dfrac{1}{2}AB.\) Следовательно, треугольник A₁MB₁ равнобедренный. Аналогично медианы A₁N и B₁N прямоугольных треугольников A₁CH и B₁CH, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы CH. Поэтому \({A_1}N = {B_1}N = \dfrac{1}{2}CH.\) Что и требовалось доказать.

б) Каждая из точек M и N равноудалена от концов отрезка A₁B₁. Значит, MN — серединный перпендикуляр к отрезку A₁B₁. Диагонали A₁B₁ и MN четырёхугольника A₁MB₁N перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей. Следовательно,

\({S_{{A_1}M{B_1}N}} = \dfrac{{MN \cdot {A_1}{B_1}}}{2} = \dfrac{{6 \cdot 4}}{2} = 12.\)

Ответ: 12.