14В. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки M и N — середины отрезков AB и CH соответственно.

а) Докажите, что треугольники A1MB1 и A1NB1 равнобедренные.

б) Найдите площадь четырёхугольника  A1MB1N,  если  A1B1 = 6  и  MN = 4.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

а) Медианы A1M и B1M прямоугольных треугольников A1AB и B1AB, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы AB. Поэтому \({A_1}M = {B_1}M = \frac{1}{2}AB.\) Следовательно, треугольник A1MB1 равнобедренный. Аналогично медианы A1N и B1N прямоугольных треугольников A1CH и B1CH, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы CH. Поэтому \({A_1}N = {B_1}N = \frac{1}{2}CH.\) Что и требовалось доказать.

б) Каждая из точек M и N равноудалена от концов отрезка A1B1. Значит, MN — серединный перпендикуляр к отрезку A1B1. Диагонали A1B1 и MN четырёхугольника A1MB1N перпендикулярны, поэтому его площадь равна половине произведения диагоналей. Следовательно,

\({S_{{A_1}M{B_1}N}} = \frac{{MN \cdot {A_1}{B_1}}}{2} = \frac{{6 \cdot 4}}{2} = 12.\)

Ответ: 12.