15В. Высота AH и медиана AM треугольника ABC делят угол BAC треугольника ABC на три равные части, причём точка H лежит между B и M. Из точки M опущен перпендикуляр MK на сторону AC.
а) Докажите, что MK = BH.
б) Найдите углы треугольника ABC.
б) Поскольку \(MK = BH = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}MC,\) в прямоугольном треугольнике MKC катет MK равен половине гипотенузы MC. Значит, \(\angle MCK = {30^ \circ }.\) Тогда: \(\angle CAH = {90^ \circ } — \angle MCK = {60^ \circ },\,\,\,\,\,\angle KAM = \frac{1}{2}\angle CAH = {30^ \circ },\) \(\angle BAC = 3\angle KAM = {90^ \circ },\,\,\,\,\,\angle ABC = {90^ \circ } — {30^ \circ } = {60^ \circ }.\) Ответ: \({90^ \circ },\,\,{60^ \circ },\,\,{30^ \circ }\).
a) Прямоугольные треугольники AKM и AHM равны по гипотенузе и острому углу, поэтому MK = MH. Высота AH треугольника BAM является его биссектрисой, поэтому треугольник BAM равнобедренный. Значит, AH — его медиана, т. е. MH = BH. Следовательно, MK = BH. Что и требовалось доказать.