16В. Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке P.

а) Докажите, что  CP = AB.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если  AC = 3  и  BC = 4.

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt {11} .\)

Решение

а) Медиана CK треугольника ABC проходит через точку P и делится ею в отношении CP : PK = 2 : 1, поэтому CP = 2PK. В то же время отрезок PK — медиана прямоугольного треугольника APB, проведённая из вершины прямого угла, значит, AB = 2PK. Следовательно, CP = AB. Что и требовалось доказать.

б) Пусть  PM = y,  PN = x,  тогда  AP = 2y,  BP = 2x.  Запишем теорему Пифагора для треугольников APN и BPM:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4{y^2}\,\, = \,\,\frac{9}{4}}\\{4{x^2}\,\, + \,\,{y^2}\,\, = \,\,4}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = \frac{9}{4} — 4{y^2}}\\{4{x^2}\,\, + \,\,{y^2}\,\, = \,\,4}\end{array}} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,4\left( {\frac{9}{4} — 4{y^2}} \right) + {y^2} = 4\,\,\,\Leftrightarrow\,\,y = \frac{1}{{\sqrt 3 }},\,\,\,x = \frac{{\sqrt {33} }}{6}.\)

Найдем площадь треугольника APN: \({S_{APN}} = \frac{1}{2} \cdot 2y \cdot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt {33} }}{6} = \frac{{\sqrt {11} }}{6}.\)

Так как медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников, то площадь треугольника ABC равна: \({S_{ABC}} = 6 \cdot {S_{APN}} = 6 \cdot \frac{{\sqrt {11} }}{6} = \sqrt {11} .\)

Ответ: \(\sqrt {11} \).