17В. В треугольнике ABC высота BD равна 6, медиана CE равна 5, расстояние от точки пересечения отрезков BD и CE до стороны AC равно 1.

а) Докажите, что CD : AD = 1 : 4.

б) Найдите площадь треугольника  AEC.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

а) На продолжении медианы CE за точку E отложим отрезок EP = CE. Тогда ACBP — параллелограмм. Поэтому BP = AC и \(BP\parallel AC.\) Пусть K — точка пересечения отрезков BD и CE. Треугольники CKD и BKP подобны: \(\angle BPK = \angle KCD,\) как накрест лежащими при параллельных прямых BP и AC и секущей CP, \(\angle PKB = \angle CKD\) как вертикальные. Тогда:  \(\frac{{BK}}{{DK}}\,\, = \,\,\frac{{PB}}{{DC}}\,\, = \,\,\frac{5}{1}\).  Пусть DC = x,  тогда  BK = 5x,  \(AD = AC — DC = 5x — x = 4x.\) Следовательно, \(\frac{{CD}}{{AD}}\,\, = \,\,\frac{x}{{4x}}\,\, = \,\,\frac{1}{4}.\) Что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников CKD и BKP следует, что \(CK = \frac{1}{5}PK,\) тогда \(CK = \frac{1}{6}CP = \frac{1}{6} \cdot 10 = \frac{5}{3}.\) По теореме Пифагора из треугольника DCK:

\(K{C^2} = K{D^2} + D{C^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,D{C^2} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} — {1^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,DC = \frac{4}{3}.\)

Следовательно,  \(AC = 5DC = 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{{20}}{3}.\)

Тогда площадь треугольника ABC равна: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{{20}}{3} = 20.\)

Медиана CE делит треугольник ABC на 2 равновеликих треугольника. Поэтому площадь треугольника AEC равна половине площади треугольника ABC:  \({S_{AEC}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{2} = 10.\)

Ответ: 10.