18В. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 3, \(AC = \sqrt {73} \) и медианой AM = 4.
а) Докажите, что медиана AM перпендикулярна стороне AB.
б) Найдите высоту треугольника ABC, проведённую из вершины A.
б) По теореме Пифагора из треугольника BAM: \(B{M^2} = A{B^2} + A{M^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BM = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\) Найдём высоту AH в треугольнике ABC: \(AH = \frac{{AM \cdot AB}}{{BM}} = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = 2,4.\) Ответ: 2,4.
а) На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MD = AM = 4. Тогда ABDC — параллелограмм. Поэтому AD = 8 и \(BD = AC = \sqrt {73} \). Так как \({8^2} + {3^2} = {\left( {\sqrt {73} } \right)^2},\) то есть \(A{D^2} + A{B^2} = B{D^2},\) то по теореме обратной теореме Пифагора треугольник ABD прямоугольный с прямым углом при вершине A. Следовательно, угол BAD – прямой. Значит медиана AM перпендикулярна стороне AB. Что и требовалось доказать.