19В. Медиана AM и высота CH равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке K. Известно, что CK = 5, KH = 1.
а) Докажите, что AH : BH = 1 : 4.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Так как BC = 2x, то теореме Пифагора из треугольника BHC: \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4{x^2} = 36 + \frac{{64{x^2}}}{{25}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 5.\) Следовательно, AB = 10 и площадь треугольника ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30.\) Ответ: 30.
а) Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MD = AM. Тогда четырёхугольник ABDC — параллелограмм, поэтому \(CD\parallel AB\) и CD = AB. Треугольник AKH подобен треугольнику DKC: \(\angle AHK = \angle DCK,\) как накрест лежащими при параллельных прямых AB и DC и секущей CH, \(\angle HKA = \angle CKD\) как вертикальные. Значит \(\frac{{AH}}{{DC}} = \frac{{HK}}{{CK}} = \frac{1}{5}.\) Пусть DC = AB = 2x, тогда \(AH = \frac{{2x}}{5}\), \(BH = AB — AH = 2x — \frac{{2x}}{5} = \frac{{8x}}{5}.\) Следовательно, \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{2x}}{5}:\frac{{8x}}{5} = \frac{1}{4}.\) Что и требовалось доказать.