2В. Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.

a) Докажите, что BL : LC= 2 : 1.

б) Найдите площадь треугольника BLK.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

а)  ВАРИАНТ 1:

В треугольнике ABD отрезки BC и DK являются медианами, которые точкой пересечения L делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, BL : CL = 2 : 1. Что и требовалось доказать.

ВАРИАНТ 2:

AK = KB (по условию).  Запишем теорему Менелая для треугольника ABC и прямой KL:

\(\frac{{AK}}{{KB}} \cdot \frac{{BL}}{{LC}} \cdot \frac{{CD}}{{DA}} = \,1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{1} \cdot \frac{{BL}}{{CL}} \cdot \frac{1}{2} = \,\,1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{BL}}{{CL}} = 2.\)

Значит, BL : CL = 2 : 1. Что и требовалось доказать. 

б) Площадь треугольника ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin \alpha .\)

В свою очередь: \({S_{KBL}} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BL \cdot \sin \alpha .\)

Пусть \(BK = y,\,\,\,BL = 2x,\)  тогда  \(BA = 2y,\,\,\,BC = 3x.\)  Запишем отношение площадей:

\(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{KBL}}}} = \frac{{2y \cdot 3x \cdot 0,5 \cdot \sin \alpha \,}}{{y \cdot 2x \cdot 0,5 \cdot \sin \alpha }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{12}}{{{S_{KBL}}}} = \frac{3}{1}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{S_{KBL}} = 4.\)

Ответ: 4.