20В. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны.
а) Докажите, что CE = 2AE.
б) Найдите стороны треугольника ABC, если BE = AD = 8.
\(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AB}} = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CE = 2AE.\) Что и требовалось доказать. б) Отложим на продолжении медианы AD за точку D отрезок DM = AD. Тогда четырёхугольник ABMC – параллелограмм, поэтому \(BM\parallel AC\) и \(BM = AC = 3AE.\) Из подобия треугольников AOE и BOM следует, что \(\frac{{OE}}{{BO}} = \frac{{AE}}{{BM}} = \frac{1}{3}.\) Поэтому EO = 2 и BO = 6. Тогда по теореме Пифагора из треугольника AOE: \(A{E^2} = A{O^2} + O{E^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{E^2} = {4^2} + {2^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AE = 2\sqrt 5 .\) Следовательно, \(AC = 3AE = 6\sqrt 5 .\) По теореме Пифагора из треугольника AOB: \(A{B^2} = B{O^2} + A{O^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{B^2} = {6^2} + {4^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,AB = 2\sqrt {13} .\) Тогда: \(BC = 2AB = 4\sqrt {13} .\) Ответ: \(2\sqrt {13} ;\,\,4\sqrt {13} ;\,\,6\sqrt 5 \,\).
а) Пусть биссектриса BE и медиана AD пересекаются в точке О. Треугольник ABD равнобедренный, так как его биссектриса BO является высотой. Значит,\(AB = BD = DC.\) По свойству биссектрисы BE в треугольнике ABC: