21В (ЕГЭ 2016). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) точки \(M\) и \(N\) — середины катетов \(AC\) и \(BC\) соответственно, \(CH\) — высота.
а) Докажите, что прямые \(MH\) и \(NH\) перпендикулярны.
б) Пусть \(P\) — точка пересечения прямых \(AC\) и \(NH,\) а \(Q\) — точка пересечения прямых \(BC\) и \(MH.\) Найдите площадь треугольника \(PQM,\) если \(AH = 12\) и \(BH = 3.\)
б) В прямоугольном треугольнике ABC найдем CH: \(CH = \sqrt {AH\, \cdot \,BH} = 6.\) По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH и BCH: \(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AC = \sqrt {{6^2} + {{12}^2}} = 6\sqrt 5 .\) \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BC = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 .\) Запишем теорему Менелая для треугольника MCQ и прямой NH: \(\frac{{AH}}{{HB}} \cdot \frac{{BN}}{{NC}} \cdot \frac{{CP}}{{PA}} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{12}}{3} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{{PC}}{{PC + 6\sqrt 5 }} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PC = 2\sqrt 5 .\) Запишем теорему Менелая для треугольника ABC и прямой MH: \(\frac{{CM}}{{MA}} \cdot \frac{{AH}}{{HB}} \cdot \frac{{BQ}}{{QC}} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{1}{1} \cdot \frac{{12}}{3} \cdot \frac{{BQ}}{{BQ + 3\sqrt 5 }} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BQ = \sqrt 5 .\) Тогда: \(CQ = CB + BQ = 3\sqrt 5 + \sqrt 5 = 4\sqrt 5 .\) \(PM = PC + \frac{{CA}}{2} = 2\sqrt 5 + 3\sqrt 5 = 5\sqrt 5 .\) Тогда площадь треугольника MPQ равна: \({S_{MPQ}} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot QC = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt 5 \cdot 4\sqrt 5 = 50.\) Ответ: 50.
а) Треугольники AHC и BHC прямоугольные. Поэтому \(MH\,\, = \,\,\frac{{AC}}{2}\,\, = \,\,CM\) и \(NH\,\, = \,\,\frac{{CB}}{2}\,\, = \,\,CN\). Значит треугольники MCN и MHN равны по трем сторонам. Из этого следует, что угол MHN равен углу MCN. Что и требовалось доказать.