22В (ЕГЭ 2016). На продолжении стороны \(AC\) за вершину \(A\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD = AB.\) Прямая, проходящая через точку \(A,\) параллельно \(BD,\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M.\)
а) Докажите, что \(AM\) — биссектриса треугольника \(ABC.\)
б) Найти \({S_{AMBD}},\) если \(AC = 30,\) \(BC = 18\) и \(AB = 24.\)
б) По обратной теореме Пифагора: \(A{B^2}\,\, + \,\,B{C^2}\,\, = \,\,A{C^2}\), следовательно, треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом ABC. По свойству биссектрисы AM в треугольнике ABC: \(\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{5}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{18 — MC}}{{MC}} = \frac{4}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,MC\,\, = \,\,10.\) Следовательно, площадь треугольника AMC равна: \({S_{AMC}} = \frac{{AB \cdot MC}}{2} = 120.\) Треугольники DBC и AMC подобны по двум углам: \(\frac{{BC}}{{MC}}\,\, = \,\,\frac{9}{5}\). Тогда: \(\frac{{{S_{DBC}}}}{{{S_{AMC}}}} = {\left( {\frac{9}{5}} \right)^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{{S_{DBC}}}}{{120}} = \frac{{81}}{{25}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{S_{DBC}} = 388,8.\) Следовательно, \({S_{DAMB}} = {S_{DBC}} — {S_{AMC}} = 388,8 — 120 = 268,8.\) Ответ: 268,8.
а) Угол BAM равен углу ABD как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AM. Также угол MAC равен углу ADB как соответственные. Так как треугольник BAD равнобедренный, то угол ADB равен углу ABD. Следовательно, угол BAM равен углу MAC и AM является биссектрисой треугольника ABC. Что и требовалось доказать.