23В. На катетах \(AC\) и \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) вне треугольника построены квадраты \(ACDE\) и \(BFKC.\) Точка \(M\) — середина гипотенузы \(AB,\) \(H\) — точка пересечения прямых \(CM\) и \(DK.\)
а) Докажите, что \(CM \bot DK.\)
б) Найдите \(MH,\) если известно, что катеты треугольника \(ABC\) равны \(130\) и \(312.\)
б) По теореме Пифагора из треугольника ACB: \(AB = \sqrt {A{C^2} + C{B^2}} \, = \sqrt {{{130}^2} + {{312}^2}} = 338.\) Тогда \(CM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{338}}{2} = 119.\) Так как треугольники ACB и DCK равны, то \(DK = AB = 338.\) В прямоугольном треугольнике DCK найдём высоту CH: \(CH = \frac{{DC \cdot CK}}{{DK}} = \frac{{130 \cdot 312}}{{338}} = 120.\) Тогда MH = 120 + 169 = 289. Ответ: 289.
а) Треугольники ACB и DCK равны по двум сторонам и углу между ними (AC = DC, BC = CK, \(\angle ACB = \angle DCK = {90^ \circ }\)). Следовательно, \(\angle CAB = \angle CDH\). Так как CM медиана треугольника ABC, то CM = MB = AM, значит треугольник MCB равнобедренный и \(\angle MBC = \angle MCB.\) В свою очередь \(\angle MCB = \angle DCH\) как вертикальные. Таким образом, \(\angle MBC = \angle DCH\) и треугольники ACB и DCH подобны по двум углам. Следовательно, треугольник DCH прямоугольный и \(CM \bot DK.\) Что и требовалось доказать.