24В. Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC,\) перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K.\) При этом \(AK:KC = 1:2.\)
а) Докажите, что \(\angle BAC = {30^ \circ }.\)
б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пресекаются в точке \(P,\) а прямые \(AP\) и \(BK\) — в точке \(Q.\) Найдите \(KQ,\) если \(BC = \sqrt {21} .\)
\(L{M^2} = KL \cdot LC = \,\,\frac{a}{2} \cdot \frac{{3a}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,LM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Из прямоугольного треугольника MLA: \({\rm{tg}}\,MAL = \frac{{LM}}{{AL}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}:\frac{{3a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\angle MAL = {\rm{arctg}}\frac{{\sqrt 3 }}{3} = {30^ \circ }.\) Отсюда \(\angle BAC\,\, = \,\,\angle MAL\,\, = \,\,{30^ \circ }\). Что и требовалось доказать. б) Из прямоугольного треугольника ABC: \({\rm{tg}}\,BAC = \frac{{CB}}{{AC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{30^ \circ } = \frac{{\sqrt {21} }}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt {21} }}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = 3\sqrt 7 .\) Тогда: \(KC = \frac{2}{3} \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt 7 = 2\sqrt 7 .\) По теореме Пифагора из треугольника BCK: \(K{B^2} = C{K^2} + C{B^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,KB = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {21} } \right)}^2}} = 7.\) Отрезок LM является средней линией в треугольнике ABC, поэтому \(LM = \frac{{CB}}{2} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}.\) Треугольники KLM и KCP подобны по двум углам, поэтому: \(\frac{{LM}}{{CP}} = \frac{{KL}}{{KC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{\sqrt {21} }}{{2\,CP}} = \frac{a}{2}:2a\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,CP = 2\sqrt {21} .\) Тогда: \(BP = CP — CB = 2\sqrt {21} — \sqrt {21} = \sqrt {21} .\) Проведем через точку K прямую KD параллельную BC. Из подобия треугольников AKD и ACP: \(\frac{{KD}}{{CP}} = \frac{{AK}}{{AC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{KD}}{{2\sqrt {21} }} = \frac{a}{{3a}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,KD = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}.\) Из подобия треугольников QKD и QBP: \(\frac{{QK}}{{QB}} = \frac{{KD}}{{BP}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{QK}}{{QK + KB}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}:\sqrt {21} \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{QK}}{{QK + 7}} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,QK = 14.\) Ответ: 14.
а) Так как CM – медиана прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, то: AM = MB = CM. Опустим из точки M перпендикуляр ML на AC и рассмотрим равнобедренный треугольник AMC: пусть AK = a, KC = 2a. Высота ML в равнобедренном треугольнике является также и медианой, поэтому \(AL = LC = \frac{{3a}}{2}\) и \(KL = \frac{{3a}}{2} — a = \frac{a}{2}.\) Из прямоугольного треугольника KMC: