25В (ЕГЭ 2018). В треугольнике \(ABC\) угол \(ABC\) тупой, \(H\) — точка пересечения продолжений высот, угол \(AHC\) равен \({60^ \circ }.\)
а) Докажите, что угол \(ABC\) равен \({120^ \circ }.\)
б) Найдите \(BH,\) если \(AB = 7,\) \(BC = 8.\)
б) В треугольнике \({C_1}CH\) \(\angle {C_1}CH\,\, = \,\,{30^ \circ }\), поэтому из прямоугольного треугольника \(CB{A_1}\) по определению синуса следует, что: \(\sin BC{A_1} = \frac{{B{A_1}}}{{BC}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin {30^\circ } = \frac{{B{A_1}}}{8}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,B{A_1} = 4.\) Значит \(A{A_1}\,\, = \,\,AB + B{A_1} = 7 + 4 = 11.\) Из треугольника \(A{A_1}H\) по определению тангенса: \({\rm{tg}}\,AHA{ _1} = \frac{{A{A_1}}}{{H{A_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{60^\circ } = \frac{{11}}{{H{A_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,H{A_1} = \frac{{11}}{{\sqrt 3 }}.\) По теореме Пифагора из треугольника HBA1: \(B{H^2} = {A_1}{B^2} + {A_1}{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BH = \sqrt {{4^2} + {{\left( {\frac{{11}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{13\sqrt 3 }}{3}.\) Ответ: \(\frac{{13\sqrt 3 }}{3}.\)
а) Сумма углов четырехугольника \({C_1}H{A_1}B\) равна \({360^ \circ }\). Тогда \(\angle H + \angle {C_1}B{A_1} = {180^ \circ }\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\angle {C_1}B{A_1} = {120^ \circ }.\) Углы C1BA1 и ABC равны как вертикальные. Следовательно, \(\angle {C_1}B{A_1}\,\, = \,\,\angle ABC\,\, = \,\,{120^ \circ }\). Что и требовалось доказать.