26В. Из вершин \(A\) и \(B\) тупоугольного треугольника \(ABC\) проведены высоты \(BQ\) и \(AH.\) Известно, что угол \(B\) — тупой, \(BC:CH = 4:5,\) \(BH = BQ.\)
а) Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника \(ABQ\) окружности в \(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\) раз больше \(BQ.\)
б) Найдите площадь четырехугольника \(AHBQ,\) если площадь треугольника \(HQC\) равна \(25.\)
\(B{C^2} = B{Q^2} + Q{C^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,QC = \sqrt {16{a^2} — {a^2}} = a\sqrt {15} .\) Треугольники BQC и AHC подобные по двум углам. Следовательно: \(\frac{{BQ}}{{QC}} = \frac{{AH}}{{CH}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{a}{{a\sqrt {15} }} = \frac{{AH}}{{5a}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AH = \frac{{5a}}{{\sqrt {15} }}.\) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{5a}}{{\sqrt {15} }}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\) Следовательно, \(\frac{{AB}}{{BQ}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\) Что и требовалось доказать. б) Так как \(\frac{{BC}}{{CH}} = \frac{4}{5},\) то \({S_{QBC}} = \frac{4}{5} \cdot {S_{HQC}} = \frac{4}{5} \cdot 25 = 20.\) \({S_{QBC}} = \frac{1}{2} \cdot CQ \cdot BQ\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{2} \cdot a\sqrt {15} \cdot a = 20\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a^2} = \frac{{40}}{{\sqrt {15} }}.\) Треугольник AQB равен треугольнику AHB по катету (BH = BQ) и общей гипотенузе AB. Следовательно: \({S_{AHBQ}} = 2 \cdot {S_{AHB}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HB = \frac{{5a}}{{\sqrt {15} }} \cdot a = \frac{5}{{\sqrt {15} }} \cdot \frac{{40}}{{\sqrt {15} }} = 13\frac{1}{3}.\) Ответ: \(13\frac{1}{3}.\)
а) Треугольник ABQ – прямоугольный. Следовательно, AB – диаметр описанной окружности вокруг треугольника ABQ. Пусть BC = 4a, тогда BH = BQ = a. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BQC: