27В. На сторонах \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) вне его построены квадраты \(ACDE\) и \(CBFG.\) Точка \(M\) — середина стороны \(AB.\)
а) Докажите, что точка \(M\) равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника \(DMG,\) если \(AC = 6,\) \(BC = 8,\) \(AB = 10.\)
\({S_{GMC}}\,\, = \frac{1}{2} \cdot GC \cdot MW = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16,\) \({S_{MCD}}\,\, = \,\frac{1}{2} \cdot CD\, \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9.\) Соответственно площадь искомого треугольника равна: \({S_{MGD}} = {S_{CDG}} + {S_{GMC}} + {S_{MCD}} = 24 + 16 + 9 = 49.\) Ответ: 49.
а) AC = CD и ВC = CG, так как они являются сторонами соответствующих квадратов. \(\angle ACG\,\, = \,\,{90^ \circ }\,\, + \,\,\angle ACB\) и \(\angle DCB\,\, = \,\,{90^ \circ }\,\, + \,\,\angle ACB\). Следовательно, \(\angle ACG\,\, = \,\,\angle DCB\). Следовательно, треугольники ACG и DCB равны по двум сторонам и углу между ними. Пусть O1 и O2 — точки пересечения диагоналей квадратов CBFG и ACDE, то есть центры этих квадратов. Отрезки MO1 и MO2 являются средними линиями треугольников ABG и ABD. Следовательно, \(M{O_1}\,\, = \frac{{AG}}{2}\), а \(M{O_2} = \frac{{BD}}{2}.\) Из равенства треугольников ACG и DCB следует, что AG = BD, поэтому MO1 = MO2. Что и требовалось доказать.
б) Так как \({6^2} + {8^2} = {10^2},\) то по обратной теореме Пифагора треугольник ABC – прямоугольный. \({S_{CDG}} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CG = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24.\) Отрезки MH и MW являются средними линиями в треугольнике ABC, поэтому \(MH = \frac{{AC}}{2} = 3,\,\,\,MW = \frac{{BC}}{2}.\) Тогда: