28В (ЕГЭ 2019). В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём СM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и СQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если \(BC = 3\), а \(AC = 5\).
б) Из равенства треугольников ACB и NCM, по двум сторонам и углу между ними, следует равенство биссектрис CP и CQ. Следовательно, прямоугольный треугольник QCP равнобедренный. Биссектриса CO в нём является медианой и высотой. Следовательно, PO = QO и \(OP\parallel CB.\) По свойству биссектрисы CP: \(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{5}{3}.\) Пусть AP = 5x, PB = 3x, тогда AB = 8x. Треугольники AOP и ACB подобны по двум углам. Тогда: \(\frac{{OP}}{{CB}} = \frac{{AP}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{OP}}{3} = \frac{{5x}}{{8x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OP = \frac{{15}}{8}.\) Следовательно, \(PQ = 2\,OP = 2 \cdot \frac{{15}}{8} = \frac{{15}}{4}.\) Ответ: \(\frac{{15}}{4}\).
а) Прямая CP – биссектриса угла ACB, поэтому \(\angle ACP = {45^ \circ }.\) Прямая CQ – биссектриса угла NCM, поэтому \(\angle QCM = {45^ \circ }.\) Следовательно, \(\angle QCP\,\, = \,\,\angle ACP\,\, + \,\,\angle QCM\,\, = \,\,{90^ \circ }\). Что и требовалось доказать.