29В. Дана трапеция ABCD. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC в точке K.
а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный.
б) Найдите биссектрису BM треугольника ABK, если AD = 10, BC = 2, AB = CD = 5.
б) Треугольник ABK – равнобедренный, поэтому BM – биссектриса, высота и медиана. Так как трапеция равнобедренная, \(A{H_1}\,\, = \,\,\frac{{10 — 2}}{2}\,\, = \,\,4.\) Пусть \(\angle KA{H_1} = \alpha ,\) тогда \(\angle BA{H_1} = 2\alpha \) по определению косинуса из треугольника BAH1: \(\cos BA{H_1} = \frac{{A{H_1}}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2\alpha = \frac{4}{5}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 — 2{\sin ^2}\alpha = \frac{4}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\) По определению синуса из треугольника ABM: \(\sin BAM = \frac{{BM}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{BM}}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BM = \frac{{\sqrt {10} }}{2}.\) Ответ: \(\frac{{\sqrt {10} }}{2}.\)
а) Так как AK – биссектриса, то \(\angle BAK = \angle DAK.\) Прямые BK и AD параллельны, поэтому \(\angle BKA = \angle DAK\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle BAK = \angle BKA.\) Поэтому треугольник ABK – равнобедренный. Что и требовалось доказать.