а) Так как AK – биссектриса, то \(\angle BAK = \angle DAK.\) Прямые BK и AD параллельны, поэтому \(\angle BKA = \angle DAK\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle BAK = \angle BKA.\) Поэтому треугольник ABK – равнобедренный. Что и требовалось доказать.
б) Треугольник ABK – равнобедренный, поэтому BM – биссектриса, высота и медиана. Так как трапеция равнобедренная, \(A{H_1}\,\, = \,\,\dfrac{{10 — 2}}{2}\,\, = \,\,4.\) Пусть \(\angle KA{H_1} = \alpha ,\) тогда \(\angle BA{H_1} = 2\alpha \) по определению косинуса из треугольника BAH1:
\(\cos BA{H_1} = \dfrac{{A{H_1}}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos 2\alpha = \dfrac{4}{5}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 — 2{\sin ^2}\alpha = \dfrac{4}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}.\)
По определению синуса из треугольника ABM:
\(\sin BAM = \dfrac{{BM}}{{AB}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{BM}}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BM = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}.\)
Ответ: \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{2}.\)