Профиль №17. Треугольник и его элементы. Задача 3В

ОТВЕТ: \(2\sqrt 5 .\)

а) Точки K и M середины сторон BC и AB соответственно. Тогда MK ­средняя линия в треугольнике ABC. Пусть \(CD = 2x,\,\,\,AD = x.\) \(DN = NB,\,\,\,\,CK\, = KB\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,NK = \dfrac{{DC}}{2} = x.\)  Отрезки AN и DK являются медианами в треугольниках DAB и CDB соответственно.  Поскольку \(NK\parallel AD\)  и \(AD = NK = x,\)  то четырехугольник ADKN – параллелограмм, а значит DK = AN. Что и требовалось доказать.

 б) По теореме косинусов в треугольнике ABC:

\(A{B^2} = A{C^2} + C{B^2} — 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos \alpha \,.\)

\(49 = 81 + 64 — 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos \alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \alpha  = \dfrac{2}{3}.\)

CD = 6, CK = 4.  По теореме косинусов в треугольнике CDK:

\(D{K^2} = C{D^2} + C{K^2} — 2 \cdot CD \cdot CK \cdot \cos \alpha .\)

\(DK = \sqrt {36 + 16 — 2 \cdot 24 \cdot \dfrac{2}{3}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 .\)

Ответ: \(2\sqrt 5 \).