3В. Точка D делит сторону AC треугольника ABC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8 и AC = 9.
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC: \(A{B^2} = A{C^2} + C{B^2} — 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos \alpha \,.\) \(49 = 81 + 64 — 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos \alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos \alpha = \frac{2}{3}.\) CD = 6, CK = 4. По теореме косинусов в треугольнике CDK: \(D{K^2} = C{D^2} + C{K^2} — 2 \cdot CD \cdot CK \cdot \cos \alpha .\) \(DK = \sqrt {36 + 16 — 2 \cdot 24 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .\) Ответ: \(2\sqrt 5 \).
а) Точки K и M середины сторон BC и AB соответственно. Тогда MK средняя линия в треугольнике ABC. Пусть \(CD = 2x,\,\,\,AD = x.\) \(DN = NB,\,\,\,\,CK\, = KB\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,NK = \frac{{DC}}{2} = x.\) Отрезки AN и DK являются медианами в треугольниках DAB и CDB соответственно. Поскольку \(NK\parallel AD\) и \(AD = NK = x,\) то четырехугольник ADKN – параллелограмм, а значит DK = AN. Что и требовалось доказать.