30В. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M.

а) Докажите, что треугольники AMB, AMC и BMC равновелики.

б) Известно, что треугольник ABC прямоугольный, а точка M удалена от катетов на расстояния 3 и 4. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы.

Ответ

ОТВЕТ: 2,4.

Решение

а) Пусть площадь треугольника ABC равна S, A1 — середина стороны BC. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, поэтому  \({S_{AB{A_1}}} = \frac{S}{2}.\)  Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому  \(M{A_1} = \frac{1}{3}A{A_1}.\) Значит,  \({S_{BM{A_1}}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{AB{A_1}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{6}.\) Аналогично доказывается, что площадь каждого из треугольников, на которые медианы разбивают данный треугольник, равна \(\frac{S}{6}.\) Тогда площадь каждого из треугольников AMB, AMC и BMC равны \(\frac{S}{3}.\) Что и требовалось доказать.

б) Пусть K и P – проекции точки М на катеты AC и BC соответственно, MK = 3, MP = 4. Пусть MA1 = x, тогда MA = 2x, а AA1 = 3x. Треугольники AKM и ACA1 подобные по двум углам. Следовательно:

\(\frac{{KM}}{{C{A_1}}} = \frac{{AM}}{{A{A_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{MK}}{{C{A_1}}} = \frac{{2x}}{{3x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,C{A_1} = \frac{3}{2}MK\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,C{A_1} = \frac{3}{2} \cdot 3 = 4,5.\)

Тогда: \(CB = 2 \cdot C{A_1} = 2 \cdot 4,5 = 9.\)

Аналогично находим AC:  \(C{B_1} = \frac{3}{2} \cdot PM = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6.\) Тогда: \(CA = 2 \cdot C{B_1} = 2 \cdot 6 = 12.\) По теореме Пифагора из треугольника ABC:  \(A{B^2} = C{B^2} + C{A^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}}  = 15.\)

Пусть MH высота треугольника AMB. Тогда: \({S_{AMB}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot MH = \frac{{15MH}}{2}.\)

Найдём площадь треугольника AMC:  \({S_{AMC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18.\) Так как площади треугольников AMB и AMC равны, то: \(\frac{{15MH}}{2} = 18\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MH = \frac{{12}}{5}.\)

Ответ: 2,4.