31В. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол \({30^\circ }.\) Точка E лежит вне прямоугольника, причём \(\angle BEC = {120^ \circ }.\)
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если BE = 40 и CE = 24.
б) По теореме косинусов из треугольника BCE найдем BC: \(BC = \sqrt {C{E^2} + B{E^2} — 2 \cdot CE \cdot BE \cdot \cos \angle BEC} = \sqrt {{{24}^2} + {{40}^2} — 2 \cdot 24 \cdot 40 \cdot \left( { — \frac{1}{2}} \right)} \,\, = \,\,56.\) Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC, CM = x, BM = 56 – x. По свойству биссектрисы EM в треугольнике BEC: \(\frac{{CM}}{{BM}} = \frac{{EC}}{{EB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{x}{{56 — x}} = \frac{{24}}{{40}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 21,\) То есть CM = 21, BM = 35. Найдем длину биссектрисы EM: \(EM = \sqrt {EC \cdot EB — CM \cdot BM} = \sqrt {24 \cdot 40 — 21 \cdot 35} = 15.\) По теореме о произведении пересекающихся хорд: \(OM \cdot EM = CM \cdot BM.\) Следовательно, \(OM = \frac{{21 \cdot 35}}{{15}} = 49.\) Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, KO = OM = 49. Тогда EK = KO + OM + ME = 113. Ответ: 113.
а) Треугольник AOB равнобедренный (AO = OB). Тогда \(\angle AOB = {180^\circ } — 2 \cdot {30^\circ } = {120^\circ },\) а \(\angle COB = {60^\circ }.\) Так как \(\angle COB + \angle BEC = {60^\circ } + {120^\circ } = {180^\circ },\) то вокруг четырёхугольника BOCE можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу CE, следовательно, \(\angle CBE = \angle COE.\) Что и требовалось доказать.