32В. Окружность, построенная на биссектрисе BL равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание BC в точке P. Боковая сторона треугольника вдвое больше его основания.
а) Докажите, что BP = 5CP.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке M. Найдите BL, если \(ML = \frac{{\sqrt {15} }}{2}.\)
б) \(ML\,\, = \,\,\frac{{\sqrt {15} }}{2};\,\,\) Прямоугольные треугольники BML и BPL равны, так как имеют общую гипотенузу BL и \(\angle PBL = \angle MBL.\) Следовательно, \(PL = ML = \frac{{\sqrt {15} }}{2}.\) Запишем теорему Пифагора для треугольника LPC: \(L{P^2} + C{P^2} = L{C^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{2}} \right)^2}\,\, + \,\,{x^2}\,\, = \,\,16{x^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\,\, = \,\,\frac{1}{2}.\) Тогда \(BP = 5x = \frac{5}{2}.\) По теореме Пифагора для треугольника BPL: \(B{L^2} = B{P^2} + P{L^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BL = \sqrt {\frac{{25}}{4} + \frac{{15}}{4}} = \sqrt {10} .\) Ответ: \(\sqrt {10} .\)
а) Пусть AH — высота треугольника ABC. Точка P лежит на окружности с диаметром BL, поэтому \(\angle BPL = {90^\circ },\) значит, \(LP\parallel AH.\) Пусть BC = 6x, тогда BH = CH = 3x, AB = AC = 12x. По свойству биссектрисы BL: \(\frac{{AL}}{{CL}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12x}}{{6x}} = \frac{2}{1}.\) Тогда AL = 8x, CL = 4x. По теореме о пропорциональных отрезках: \(\frac{{CP}}{{PH}} = \frac{{CL}}{{LA}} = \frac{{4x}}{{8x}} = \frac{1}{2}.\) Следовательно, CP = x, PH = 2x, BP = 5x = 5CP. Что и требовалось доказать.