33В. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 6 и AC =8.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне BC.
б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
б) Найдём длину биссектрисы AQ: \(AQ = \sqrt {AB \cdot AC — BQ \cdot CQ} = \sqrt {4 \cdot 8 — 2 \cdot 4} = 2\sqrt 6 .\) Ответ: \(2\sqrt 6 .\)
а) Пусть M – точка пересечения медиан, тогда \(\frac{{AM}}{{MN}} = \frac{2}{1}.\) Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC. Поскольку O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, биссектриса AQ проходит через точку O. Пусть BQ = x, тогда CQ = 6 – x. По свойству биссектрисы: \(\frac{{BQ}}{{CQ}} = \frac{{AB}}{{AC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{x}{{6 — x}} = \frac{4}{8}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 2,\) то есть BQ = 2, CQ = 4. Так как BO – биссектриса треугольника ABQ, то \(\frac{{AO}}{{QO}} = \frac{{AB}}{{BQ}} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}.\) Так как \(\frac{{AO}}{{QO}} = \frac{{AM}}{{MN}},\) то \(OM\parallel BC\). Что и требовалось доказать.