34В. Высоты, проведённые из вершин A, B и C треугольника ABC, равны 20, 15 и 12 соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины C.
Пусть CK – биссектриса, BK = x, AK = 25 – x. По свойству биссектрисы CK в треугольнике ABC: \(\frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{AC}}{{BC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{25 — x}}{x}\,\, = \,\,\frac{{20}}{{15}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \frac{{75}}{7},\) то есть \(BK = \frac{{75}}{7},\,\,\,\,AK = \frac{{100}}{7}.\) Найдём длину биссектрисы CK: \(CK = \sqrt {AC \cdot BC — AK \cdot BK} = \sqrt {20 \cdot 15 — \frac{{75}}{7} \cdot \frac{{100}}{7}} = \frac{{60\sqrt 2 }}{7}.\) Ответ: \(\frac{{60\sqrt 2 }}{7}.\)
а) Пусть стороны треугольника AB, BC и AC соответственно равны c, a, b. Тогда площадь треугольника ABC можно найти как: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 20a = \frac{1}{2} \cdot 15b = \frac{1}{2} \cdot 12c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,20a = 15b\,\, = 12c.\) Тогда \(a\,\, = \,\,\frac{3}{5}c,\,\,b\,\, = \,\,\frac{4}{5}c\). По обратной теореме Пифагора: \({a^2} + {b^2} = {\left( {\frac{3}{5}c} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}c} \right)^2} = {c^2}.\) Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C. Что и требовалось доказать.
б) Так как треугольник прямоугольный, то наименьшая высота равная CH = 12 проведена к гипотенузе AB. Следовательно, две других высоты являются катетами. Пусть CB = 15, AC = 20. По теореме Пифагора: \(A{B^2} = C{B^2} + C{A^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AB = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = 25.\)