36В. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

а) Пусть \(\angle CAD = \alpha ,\) тогда \(\angle ACD = {90^ \circ } — \alpha \) и \(\angle BCD = {90^ \circ } — \angle ACD = {90^ \circ } — \left( {{{90}^ \circ } — \alpha } \right) = \alpha .\) Следовательно, прямоугольные треугольники ACD и  BCD подобны по острому углу. Что и требовалось доказать.

б) Так как треугольники ACD и BCD подобные, то коэффициент подобия \(k = \frac{{{O_1}{H_1}}}{{{O_2}{H_2}}} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = \frac{3}{4}.\) Пусть  CD = 3x,  тогда  BD = 4x.  По теореме Пифагора из треугольника CDB:  \(C{B^2} = C{D^2} + B{D^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CB = \sqrt {9{x^2} + 16{x^2}}  = 5x.\)  Тогда  \(AC = \frac{3}{4} \cdot BC = \frac{{15x}}{4};\,\,\,\,\,\,\,AD = \,\,\frac{3}{4} \cdot CD = \frac{{9x}}{4}\)  и  \(AB = AD + BD = \frac{{9x}}{4} + 4x = \frac{{25x}}{4}.\)  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник ACD:

\({r_{ACD}} = \frac{{AD + CD — AC}}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{12}}{{10}}\,\, = \,\,\frac{{9x\,\, + \,\,12x\,\, — \,\,15x}}{4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\,\, = \,\,\frac{4}{5}.\)

Тогда радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник ABC:

\({r_{ACB}}\,\, = \,\,\frac{{AC + BC — AB}}{2} = \frac{{15x + 20x — 25x}}{8} = \frac{5}{4} \cdot x = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1.\)

Ответ: 1.