а) Пусть \(\angle CAD = \alpha ,\) тогда \(\angle ACD = {90^ \circ } — \alpha \) и \(\angle BCD = {90^ \circ } — \angle ACD = {90^ \circ } — \left( {{{90}^ \circ } — \alpha } \right) = \alpha .\) Следовательно, прямоугольные треугольники ACD и BCD подобны по острому углу. Что и требовалось доказать.
б) Так как треугольники ACD и BCD подобные, то коэффициент подобия \(k = \dfrac{{{O_1}{H_1}}}{{{O_2}{H_2}}} = \dfrac{{0,6}}{{0,8}} = \dfrac{3}{4}.\) Пусть CD = 3x, тогда BD = 4x. По теореме Пифагора из треугольника CDB: \(C{B^2} = C{D^2} + B{D^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CB = \sqrt {9{x^2} + 16{x^2}} = 5x.\) Тогда \(AC = \dfrac{3}{4} \cdot BC = \dfrac{{15x}}{4};\,\,\,\,\,\,\,AD = \,\,\dfrac{3}{4} \cdot CD = \dfrac{{9x}}{4}\) и \(AB = AD + BD = \dfrac{{9x}}{4} + 4x = \dfrac{{25x}}{4}.\) Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник ACD:
\({r_{ACD}} = \dfrac{{AD + CD — AC}}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{10}}\,\, = \,\,\dfrac{{9x\,\, + \,\,12x\,\, — \,\,15x}}{4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\,\, = \,\,\dfrac{4}{5}.\)
Тогда радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник ABC:
\({r_{ACB}}\,\, = \,\,\dfrac{{AC + BC — AB}}{2} = \dfrac{{15x + 20x — 25x}}{8} = \dfrac{5}{4} \cdot x = \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{4}{5} = 1.\)
Ответ: 1.