37В. В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, \(AC = \sqrt {17} \) и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая, что AD = 1.
а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDC и ADC.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B{C^2} = B{D^2} + C{D^2} — 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} — 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \left( {{{180}^ \circ } — \alpha } \right)}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{25 = 9 + {x^2} — 6x\cos \alpha \,\,\,\,\,\,}\\{17 = 1 + {x^2} + 2x\cos \alpha \,\,\,\left| { \cdot 3} \right.}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{25 = 9 + {x^2} — 6x\cos \alpha \,\,}\\{51 = 3 + 3{x^2} + 6x\cos \alpha }\end{array}} \right.\) Прибавим к первому уравнению последней системы второе: \(76 = 12 + 4{x^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\) То есть CD = 4. По обратной теореме Пифагора: \(C{D^2} + D{B^2} = {4^2} + {3^2} = {5^2} = B{C^2}.\) Следовательно, треугольник CDB прямоугольный и прямые CD и AB перпендикулярны. Что и требовалось доказать. б) Так как треугольники ADC и BDC прямоугольные, то центры окружностей описанных вокруг этих треугольников O1 и O2 расположены на серединах гипотенуз AC и BC соответственно. Таким образом, отрезок O1O2 является средней линией треугольника ABC и \({O_1}{O_2} = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2.\) Ответ: 2.
а) Пусть CD = x, \(\angle BDC = \alpha \), тогда \(\angle ADC = {180^ \circ } — \alpha .\) Запишем теорему косинусов для треугольников BDC и ADC: