38В. В равнобедренном треугольнике ABC AC — основание. На продолжении стороны CB за точку В отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD.
а) Докажите, что AB биссектриса угла CAD.
б) Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
б) Из пункта а) следует, что \(\angle DAB = \alpha ,\,\,\,\angle ABD = 2\alpha ,\) а \(\angle ADB = {180^ \circ } — 3\alpha .\) Запишем теорему синусов для треугольника ABD: \(\frac{{AB}}{{\sin ({{180}^ \circ } — 3\alpha )}} = \frac{{AD}}{{\sin 2\alpha }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{5}{{\sin 3\alpha }} = \frac{{AD}}{{\sin 2\alpha }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AD = \frac{{10\sin \alpha \cdot \cos \alpha }}{{\sin \alpha \cdot (3 — 4{{\sin }^2}\alpha )}} = \frac{{10\cos \alpha }}{{3 — 4{{\sin }^2}\alpha }}.\) Найдем синус и косинус угла \(\alpha \). Проведем медиану BE к стороне AC в треугольнике ABC, которая также будет являться высотой и медианой. Тогда AE = 3 и по теореме Пифагора из треугольника ABE: \(B{E^2} + E{A^2} = A{B^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BE = \sqrt {{5^2} — {3^2}} = 4.\) Тогда \(\sin \alpha = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{4}{5};\,\,\,\,\,\cos \alpha = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{3}{5}.\) Подставим данные значения и найдем AD: \(AD\,\, = \,\,\frac{{10\,\, \cdot \,\,0,6}}{{3\,\, — \,\,4\,\, \cdot \,\,0,64}}\,\, = \,\,\frac{{150}}{{11}}.\) Ответ: \(\frac{{150}}{{11}}.\)
а) Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = \alpha ,\) тогда \(\angle ABC = {180^ \circ } — 2\alpha ,\) а \(\angle ABD = {180^ \circ } — \angle ABC = {180^ \circ } — \left( {{{180}^ \circ } — 2\alpha } \right) = 2\alpha .\) Так как по условию \(\angle CAD = \angle ABD,\) то \(\angle CAD = 2\alpha .\) Это значит, что отрезок AB – биссектриса угла CAD. Что и требовалось доказать.