ЕГЭ Профиль. Треугольник и его элементы. Задача 4В (ЕГЭ 2014, 2025)

ОТВЕТ: 3:1.

а) Рассмотрим треугольник ABN. Биссектриса AO перпендикулярна стороне BN, значит она также является высотой. Следовательно, треугольник ABN – равнобедренный и \(AN = AB = 6.\)  \(NC = AC — AN = 9 — 6 = 3.\)

По свойству биссектрисы AM в треугольнике ABC:

\(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BM}}{{MC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{BM}}{{MC}} = \dfrac{2}{3}.\)  Так как  BC = 5,  то  BM = 2  и  CM = 3.

Так как MC = NC = 3, то треугольник NCM – равнобедренный и биссектриса CL является также медианой и высотой. Следовательно, биссектриса CL делит отрезок MN пополам. Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник AMC, где CP – биссектриса.  По свойству биссектрисы:

\(\dfrac{{CM}}{{CA}} = \dfrac{{MP}}{{AP}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{MP}}{{AP}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AP:MP = 3:1.\) 

В треугольнике PMN отрезок PL является высотой и медианой. Следовательно, MP = PN и AP : PN =3 : 1.

Ответ: 3 : 1.