4В (ЕГЭ 2014). В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. \(AB = 6,\,\,\,\,\,BC = 5,\,\,\,\,\,AC = 9.\)
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.
б) Пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение \(AP:PN.\)
По свойству биссектрисы AM в треугольнике ABC: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{MC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{3}.\) Так как BC = 5, то BM = 2 и CM = 3. Так как MC = NC = 3, то треугольник NCM – равнобедренный и биссектриса CL является также медианой и высотой. Следовательно, биссектриса CL делит отрезок MN пополам. Что и требовалось доказать. б) Рассмотрим треугольник AMC, где CP – биссектриса. По свойству биссектрисы: \(\frac{{CM}}{{CA}} = \frac{{MP}}{{AP}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{MP}}{{AP}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AP:MP = 3:1.\) В треугольнике PMN отрезок PL является высотой и медианой. Следовательно, MP = PN и AP : PN =3 : 1. Ответ: 3 : 1.
а) Рассмотрим треугольник ABN. Биссектриса AO перпендикулярна стороне BN, значит она также является высотой. Следовательно, треугольник ABN – равнобедренный и \(AN = AB = 6.\) \(NC = AC — AN = 9 — 6 = 3.\)