40В. В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.
а) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.
Решение
а) Так как \(\angle A{C_1}C = \angle A{A_1}C = {90^ \circ },\) то вокруг четырёхугольника AC1A1C можно описать окружность, диаметром которой является AC. Тогда \(\angle AC{C_1} = \angle A{A_1}{C_1},\) так как они опираются на одну дугу AC1, а \(\angle CA{A_1} = \angle C{C_1}{A_1},\) так как они опираются на одну дугу CA1, окружности описанной вокруг четырёхугольника AC1A1C. Следовательно, треугольники AOC и C1OA1 подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что из-за того, что четырехугольник \(A{C_1}{A_1}C\) вписанный в окружность, то угол \(\angle {C_1}AC\,\, = \,\,{180^ \circ }\,\, — \,\,\angle {C_1}{A_1}C\,\, = \,\,\angle B{A_1}{C_1}\), аналогично \(\angle {A_1}CA\,\, = \,\,\angle B{C_1}{A_1}\), поэтому треугольники \(BAC\) и \(B{A_1}{C_1}\) подобные по двум углам с коэффициентом подобия \(\dfrac{{B{C_1}}}{{BC}} = \cos \angle {C_1}BC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = k.\) Следовательно,
\(\dfrac{{{S_{B{C_1}{A_1}}}}}{{{S_{BAC}}}} = {k^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{{S_{B{C_1}{A_1}}}}}{{80}} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{S_{B{C_1}{A_1}}} = 60\)
\({S_{AC{A_1}{C_1}}} = {S_{ABC}} — {S_{B{C_1}{A_1}}} = 80 — 60 = 20.\)
Ответ: 20.