41В. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а) Докажите, что \(MK\parallel AC.\)
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 10, BC = 6, AB = 8.
б) Треугольники CBK1 и ABM1 равнобедренные (CB = CK1 = 6, AB = AM1 = 8). Тогда AK1 = AC – CK1 = 10 – 6 = 4, CM1 = AC – AM1 = 10 – 8 = 2. Следовательно, K1M1 = AC – AK1 – CM1 = 10 – 4 – 2 = 4. Отрезок KM является средней линией треугольника K1BM1, поэтому \(KM = \frac{{{K_1}{M_1}}}{2} = \frac{4}{2} = 2.\) Так как стороны треугольника ABC равны 6, 8 и 10 \(\left( {{6^2} + {8^2} = {{10}^2}} \right)\), то он является прямоугольным с прямым углом B. Найдём его высоту BH1, проведённую к гипотенузе AC: \(B{H_1} = \frac{{AB \cdot BC}}{{AC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8.\) Высота BH треугольника KBM в два раза меньше: \(BH = \frac{{B{H_1}}}{2} = \frac{{4,8}}{2} = 2,4.\) Следовательно, площадь треугольника KBM: \({S_{KBM}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \,BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2,4 = 2,4.\) Ответ: 2,4.
а) Пусть BK и BM пересекают AC в точках K1 и M1 соответственно. Отрезки CK и AM в треугольниках CBK1 и ABM1 являются биссектрисами и высотами, а значит и медианами, поэтому: BK = KK1 и BM = MM1. Значит KM – средняя линия в треугольнике K1BM1, отсюда \(KM\parallel {K_1}{M_1},\) так как \({K_1}{M_1} \in AC,\) то \(KM\parallel AC.\) Что и требовалось доказать.