42В (ЕГЭ 2020). На сторонах  AB, BC и AC  треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно, причем  AC1 : C1B = 7 : 12,  BA1 : A1C = 3 : 1,  AB1 : B1C = 3 : 4. Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке D.

а) Докажите, что четырехугольник ADA1B1 – параллелограмм.

б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC = 21,  BC = 16.

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Решение

а) Пусть  AC1 = 7x,  BC1 = 12x,  BA1 = 3y,  CA1 = y,  AB1 = 3z,  CB1 = 4z.  Через точку B проведём прямую параллельно стороне AC до пересечения с прямой CC1 в точке P. Треугольники PBC1 и CAC1 подобны по двум углам (\(\angle CPB = \angle PCA,\,\,\,\,\angle PBA = \angle CAB\)  как накрест лежащие). Следовательно:

\(\frac{{PB}}{{AC}} = \frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{PB}}{{7z}} = \frac{{12x}}{{7x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PB = 12z.\)

Треугольники PBD и CB1D подобны по двум углам (\(\angle CPB = \angle PCA,\,\,\,\,\angle PB{B_1} = \angle C{B_1}B\)  как накрест лежащие). Следовательно:

\(\frac{{BD}}{{D{B_1}}} = \frac{{PB}}{{C{B_1}}} = \frac{{12z}}{{4z}} = \frac{3}{1}.\)  

Так как \(\frac{{BD}}{{D{B_1}}} = \frac{{B{A_1}}}{{{A_1}C}},\) то \(D{A_1}\parallel {B_1}C\parallel A{B_1}.\) Следовательно, треугольники DBA1 и B1BC подобны, поэтому:

\(\frac{{D{A_1}}}{{{B_1}C}} = \frac{{B{A_1}}}{{BC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{D{A_1}}}{{4z}} = \frac{{3y}}{{4y}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,D{A_1} = 3z.\)

Таким образом, \(D{A_1} = A{B_1} = 3z\) и \(D{A_1}\parallel A{B_1}.\) Следовательно, четырёхугольник ADA1B1 является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

б) Так как AC = 21 и BC = 16, то AB1 = 9 и CA1 = 4. По теореме Чевы:

\(\frac{{A{C_1}}}{{{C_1}B}} \cdot \frac{{BH}}{{HC}} \cdot \frac{{C{B_1}}}{{{B_1}A}} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{7x}}{{12x}} \cdot \frac{{BH}}{{HC}} \cdot \frac{{4z}}{{3z}} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{9}{7}.\)  

Так как  BC = 16, то  BH = 9,  CH = 7  и  HA1 = CH – CA1 = 7 – 4 = 3. Так как ADA1B1 параллелограмм, то  DA1 = AB1 = 9. По теореме Пифагора из треугольника DHA1:

\(D{H^2} + HA_1^2 = DA_1^2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,DH = \sqrt {{9^2} — {3^2}}  = \sqrt {72} .\)

По теореме Пифагора из треугольника DHC:

\(D{H^2} + H{C^2} = D{C^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,DC = \sqrt {72 + 49}  = 11.\)

Ответ: 11.