а) Пусть AC1 = 7x, BC1 = 12x, BA1 = 3y, CA1 = y, AB1 = 3z, CB1 = 4z. Через точку B проведём прямую параллельно стороне AC до пересечения с прямой CC1 в точке P. Треугольники PBC1 и CAC1 подобны по двум углам (\(\angle CPB = \angle PCA,\,\,\,\,\angle PBA = \angle CAB\) как накрест лежащие). Следовательно:
\(\frac{{PB}}{{AC}} = \frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{PB}}{{7z}} = \frac{{12x}}{{7x}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,PB = 12z.\)
Треугольники PBD и CB1D подобны по двум углам (\(\angle CPB = \angle PCA,\,\,\,\,\angle PB{B_1} = \angle C{B_1}B\) как накрест лежащие). Следовательно:
\(\frac{{BD}}{{D{B_1}}} = \frac{{PB}}{{C{B_1}}} = \frac{{12z}}{{4z}} = \frac{3}{1}.\)
Так как \(\frac{{BD}}{{D{B_1}}} = \frac{{B{A_1}}}{{{A_1}C}},\) то \(D{A_1}\parallel {B_1}C\parallel A{B_1}.\) Следовательно, треугольники DBA1 и B1BC подобны, поэтому:
\(\frac{{D{A_1}}}{{{B_1}C}} = \frac{{B{A_1}}}{{BC}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{D{A_1}}}{{4z}} = \frac{{3y}}{{4y}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,D{A_1} = 3z.\)
Таким образом, \(D{A_1} = A{B_1} = 3z\) и \(D{A_1}\parallel A{B_1}.\) Следовательно, четырёхугольник ADA1B1 является параллелограммом. Что и требовалось доказать.
б) Так как AC = 21 и BC = 16, то AB1 = 9 и CA1 = 4. По теореме Чевы:
\(\frac{{A{C_1}}}{{{C_1}B}} \cdot \frac{{BH}}{{HC}} \cdot \frac{{C{B_1}}}{{{B_1}A}} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{7x}}{{12x}} \cdot \frac{{BH}}{{HC}} \cdot \frac{{4z}}{{3z}} = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{9}{7}.\)
Так как BC = 16, то BH = 9, CH = 7 и HA1 = CH – CA1 = 7 – 4 = 3. Так как ADA1B1 параллелограмм, то DA1 = AB1 = 9. По теореме Пифагора из треугольника DHA1:
\(D{H^2} + HA_1^2 = DA_1^2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,DH = \sqrt {{9^2} — {3^2}} = \sqrt {72} .\)
По теореме Пифагора из треугольника DHC:
\(D{H^2} + H{C^2} = D{C^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,DC = \sqrt {72 + 49} = 11.\)
Ответ: 11.