43В. В треугольнике АВС известно, что АВ = АС =10, ВС = 12. На стороне АВ отметили точки М1 и М2 так, что АМ1 < АМ2. Через точки М1 и М2 провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что АМ1 : ВМ2 = 1 : 3.
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AH = \sqrt {{{10}^2} — {6^2}} = 8.\) Тогда: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48.\) С другой стороны площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \({S_{ABC}} = p \cdot r\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \frac{{48 \cdot 2}}{{10 + 10 + 12}} = 3.\) Так как \(OP \bot {M_1}{M_2},\,\,\,OE \bot {M_2}K,\,\,\,\,OF \bot {M_1}N\) и OE = OP = OF = r, то четырёхугольники EM2PO и FM1PO являются квадратами. Поэтому M2P = M1P = 3. При этом AO = AH – OH = 8 – 3 = 5. По теореме Пифагора из треугольника APO: \(A{O^2} = A{P^2} + O{P^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AP = \sqrt {{5^2} — {3^2}} = 4.\) Тогда: AM1 = AP – PM1 = 4 – 3=1, а BM2 = AB – AM1 – M1P – M2P = 10 – 1 – 3 – 3 = 3. Следовательно, AM1 : BM2 = 1 : 3. Что и требовалось доказать. б) По определению тангенса из треугольника ABH: \({\rm{tg}}\,B = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.\) Из треугольника BM2K: \({\rm{tg}}\,B = \frac{{K{M_2}}}{{B{M_2}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{4}{3} = \frac{{K{M_2}}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,K{M_2} = 4\) \({S_{B{M_2}K}} = \frac{1}{2} \cdot B{M_2} \cdot K{M_2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6.\) Пусть \(\angle BAH = \angle CAH = \alpha .\) Тогда по определению тангенса из треугольника ABH: \({\rm{tg}}\,\alpha = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.\) Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: \({\rm{tg}}\,2\alpha = \frac{{2{\rm{tg}}\,\alpha }}{{1 — {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha }} = \frac{{2 \cdot \frac{3}{4}}}{{1 — {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{24}}{7}.\) Тогда по определению тангенса из треугольника AM1N: \({\rm{tg}}\,2\alpha = \frac{{{M_1}N}}{{A{M_1}}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{24}}{7} = \frac{{{M_1}N}}{1}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{M_1}N = \frac{{24}}{7}\) \({S_{A{M_1}N}} = \frac{1}{2} \cdot A{M_1} \cdot {M_1}N = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{{24}}{7} = \frac{{12}}{7}.\) Следовательно: \({S_{{M_1}NCK{M_2}}} = {S_{ABC}} — {S_{A{M_1}N}} — {S_{B{M_2}K}} = 48 — \frac{{12}}{7} — 6 = \frac{{282}}{7}.\) Ответ: \(\frac{{282}}{7}.\)
а) Окружность вписанная в пятиугольник так же является вписанной в треугольник ABC и касается его сторон в точках H, P и L. Тогда AH является высотой, медианой и биссектрисой и BH = CH = 6. По теореме Пифагора из треугольника ABH: