44В (ЕГЭ 2021) Отрезок CH – высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что \(\angle MHN = {90^ \circ }.\)
а) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.
\(\angle NCH = {90^ \circ } — \angle HBC = {90^ \circ } — \left( {{{90}^ \circ } — \angle BAC} \right) = \angle BAC,\) то есть \(\angle NMH = \angle BAC.\) Таким образом, прямоугольные треугольники ABC и MNH подобны по острому углу. Что и требовалось доказать. б) Обозначим вторую точку пересечения окружности, описанной около четырёхугольника CMHN, и отрезка AB через D. Тогда CD – диаметр окружности, поскольку \(\angle CHD = {90^ \circ }.\) Значит \(\angle CND = \angle CMD = \angle MCN = {90^ \circ },\) следовательно, четырёхугольник CNDM – прямоугольник и CN = MD. Отрезок AM = AC – MC = 4 – 1 = 3. По определению тангенса из треугольника ABC: \({\rm{tg}}\angle BAC = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\) Тогда из прямоугольного треугольника AMD: \({\rm{tg}}\angle MAD = \frac{{MD}}{{AM}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{2} = \frac{{MD}}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,MD = 1,5.\) Следовательно, \(CN = MD = 1,5.\) Ответ: 1,5.
а) В четырёхугольнике CMHN \(\angle NCM = \angle MHN = {90^ \circ }.\) Так как сумма этих двух углов равна \({180^ \circ },\) то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Значит, \(\angle NMH = \angle NCH\), так как опираются на одну дугу HN. В свою очередь: