46В (ЕГЭ 2023).  На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки C1 и B1 соответственно. Оказалось, что BC = B1C = BC1.

а) Докажите, что точки B, C и середины отрезков BB1 и CC1 лежат на одной окружности.

б) Найдите косинус угла между прямыми BB1 и CC1, если BC = 8, AB = 15, AC = 17.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\)

Решение

а) Пусть N и M середины отрезков CC1 и BB1. Так как BC = BC1, то треугольник CBC1 равнобедренный. Следовательно, медиана BN является высотой, то есть \(BN \bot C{C_1}\) и \(\angle BNC = {90^ \circ }.\) Аналогично, треугольник BCB1 равнобедренный и медиана CM является высотой \(\angle BMC = {90^ \circ }.\) Из точек M и N, находящихся по одну сторону от отрезка BC, отрезок BC виден под одним углом. Следовательно, точки B, C, M и N лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Поскольку \(A{B^2} + B{C^2} = {15^2} + {8^2} = {17^2} = A{C^2},\) треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Из треугольника ABC: \(\sin \beta  = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{8}{{17}} = \cos\angle ACB.\) Тогда:

\({S_{A{C_1}{B_1}}} = \frac{1}{2} \cdot A{C_1} \cdot A{B_1} \cdot \sin \alpha  = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \frac{8}{{17}} = \frac{{252}}{{17}},\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60,\)

\({S_{{C_1}{B_1}CB}} = {S_{ABC}} — {S_{A{C_1}{B_1}}} = 60 — \frac{{252}}{{17}} = \frac{{768}}{{17}}.\)

Из прямоугольного треугольника CBC1 \(C{C_1} = 8\sqrt 2 .\) Из равнобедренного треугольника BCB1 по теореме косинусов:

\(BB_1^2 = C{B^2} + CB_1^2 — 2CB \cdot C{B_1} \cdot \cos \angle BC{B_1}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,B{B_1} = \sqrt {{8^2} + {8^2} — 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{8}{{17}}}  = 24\sqrt {\frac{2}{{17}}} .\)

Обозначим угол между прямыми BB1 и СС1 через \(\alpha .\) Тогда:

\({S_{{C_1}{B_1}CB}} = \frac{1}{2} \cdot B{B_1} \cdot C{C_1} \cdot \sin \alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{768}}{{17}} = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt {\frac{2}{{17}}}  \cdot 8\sqrt 2  \cdot \sin \alpha \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin \alpha  = \frac{4}{{\sqrt {17} }}.\)

Используя основное тригонометрическое тождество, получим:

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 — {{\left( {\frac{4}{{\sqrt {17} }}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\)

Так как \(\alpha  \in \left[ {{0^ \circ };\,{{90}^ \circ }} \right],\) то \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\)

Ответ: \(\frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\)