47В (ЕГЭ 2024).  Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.

а) Докажите, что\(\angle BAH = \angle B{B_1}{C_1}.\)

6) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до его стороны BC, если известно, что \({B_1}{C_1} = 18,\)  а \(\angle BAC = {30^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ:  18.

Решение

а) В четырёхугольнике AB1HC1  \(\angle A{C_1}H = \angle A{B_1}H = {90^ \circ }.\) Следовательно, сумма этих углов равна \({180^ \circ }\) и около этого четырёхугольника можно описать окружность. Углы C1AH и HB1C1 являются вписанными в эту окружность и опираются на одну дугу C1H, следовательно, они равны, а значит \(\angle B{B_1}{C_1} = \angle BAH.\)

б) Так как \(\angle B{C_1}C = \angle C{B_1}B = {90^ \circ },\) то вокруг четырёхугольника BC1B1C можно описать окружность, диаметром которой является BC. Тогда:

\(\angle {C_1}BC + \angle {C_1}{B_1}C = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\angle {C_1}{B_1}C = {180^ \circ }-\angle {C_1}BC.\)

Следовательно:

\(\angle A{B_1}{C_1} = {180^ \circ }-\angle {C_1}{B_1}C = {180^ \circ }-\left( {{{180}^ \circ }-\angle {C_1}BC} \right) = \,\angle {C_1}BC = \angle ABC.\)

Значит \(\Delta ABC \sim \Delta A{B_1}{C_1}\) по двум углам (\(\angle A\)– общий, \(\angle ABC = \angle A{B_1}{C_1}\)). Тогда \(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{A{C_1}}}{{AC}},\) но из прямоугольного треугольника CAC1:

\(\cos \angle {C_1}AC = \frac{{A{C_1}}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos {30^ \circ } = \frac{{A{C_1}}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{A{C_1}}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Значит:  \(\frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{18}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,BC = 12\sqrt 3 .\)

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Вписанный \(\angle BAC = {30^ \circ }\) опирается на дугу BC, а \(\angle BOC\) – является центральным и опирается на эту же дугу. Поэтому \(\angle BOC = 2\angle BAC = {60^ \circ },\) а OB = OC как радиусы, следовательно, треугольник BOC равносторонний, со стороной \(12\sqrt 3 .\) Расстояние от точки O до стороны BC равно высоте OK в треугольнике  BOC:

\(\sin \angle OBK = \frac{{OK}}{{OB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin {60^ \circ } = \frac{{OK}}{{12\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{OK}}{{12\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,OK = 18.\)

Ответ: 18.