5В. Медианы \(A{A_1}\),\(B{B_1}\) и \(C{C_1}\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M.\) Точки \({A_2}\),\({B_2}\) и \({C_2}\) — середины отрезков \(MA,\,\,\,MB\) и \(MC\) соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника \({A_1}{B_2}{C_1}{A_2}{B_1}{C_2}\) вдвое меньше площади треугольника \(ABC.\)

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что \(AB = 5,\,\,\,BC = 8\) и \(AC = 10.\)

Ответ

ОТВЕТ: 31,5.

Решение

а) Отрезки  C1A2,  C1B2,  A1B2,  A1C2,  B1C2  и  B1A2  являются медианами треугольников  AC1M,  BC1M,  BA1M,  CA1M,  CB1M  и  AB1M,  а медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть  \({S_{A{C_1}{A_2}}} = {S_{M{C_1}{A_2}}},\)  \({S_{B{C_1}{B_2}}} = {S_{M{C_1}{B_2}}},\)  \({S_{B{A_1}{B_2}}} = {S_{M{A_1}{B_2}}},\)  \({S_{C{A_1}{C_2}}} = {S_{M{A_1}{C_2}}},\)  \({S_{C{B_1}{C_2}}} = {S_{M{B_1}{C_2}}},\)  \({S_{A{B_1}{A_2}}} = {S_{M{B_1}{A_2}}}.\)  Следовательно, \({S_{{A_1}{B_2}{C_1}{A_2}{B_1}{C_2}}}\,\, = \,\,\frac{1}{2}\,\, \cdot \,\,{S_{ABC}}\),  что и требовалось доказать.

б) Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины, то есть \(AM = 2M{A_1},\)  \(BM = 2M{B_1},\)  \(CM = 2M{C_1}.\) Отрезки  C1A2,  C1B2,  A1B2,  A1C2,  B1C2  и  B1A2  являются средними линиями треугольников  ABM,  CBM  и  CAM,  то есть  \({C_1}{A_2} = {A_1}{C_2} = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{3}B{B_1};\)  \({C_1}{B_2} = {B_1}{C_2} = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{3}A{A_1};\)  \({A_1}{B_2} = {B_1}{A_2} = \frac{1}{2}CM = \frac{1}{3}C{C_1}.\)  При этом медианы треугольника через его стороны находятся по формулам:

\(A{A_1}^2\,\, = \,\,\frac{1}{4}\left( {2\, \cdot \,A{B^2}\, + \,\,2\,\, \cdot \,\,A{C^2}\,\, — \,\,B{C^2}} \right);\)

\(B{B_1}^2\,\, = \,\,\frac{1}{4}\left( {2\, \cdot \,A{B^2}\, + \,2\, \cdot \,B{C^2}\, — \,A{C^2}} \right);\)

\(C{C_1}^2\,\, = \,\,\frac{1}{4}\left( {2\, \cdot \,A{C^2}\, + \,2\, \cdot \,B{C^2}\, — \,A{B^2}} \right).\)

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника A1B2C1A2B1C2 равна:

\(2 \cdot {B_1}{C_2}^2 + 2 \cdot {A_1}{B_2}^2 + 2 \cdot {C_1}A_2^2 = \frac{2}{9} \cdot AA_1^2 + \frac{2}{9} \cdot BB_1^2 + \frac{2}{9} \cdot C{C_1}^2 = \)

\( = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4}\left( {2 \cdot A{B^2} + 2 \cdot A{C^2} — B{C^2} + 2 \cdot A{B^2} + 2 \cdot B{C^2} — A{C^2} + 2 \cdot A{C^2} + 2 \cdot B{C^2} — A{B^2}} \right) = \)

\( = \frac{1}{{18}} \cdot \left( {3 \cdot A{B^2} + 3 \cdot B{C^2} + 3 \cdot A{C^2}} \right) = \frac{1}{6} \cdot \,\left( {25 + 64 + 100} \right) = \frac{{189}}{6} = 31,5.\)

Ответ: 31,5.