6В. Медианы \(A{A_1}\), \(B{B_1}\) и \(C{C_1}\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M.\) Известно, что \(AC = 3MB.\)
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан \(A{A_1}\) и \(C{C_1}\), если известно, что \(AC = 12.\)
б) По теореме Пифагора из треугольника ABC: \(A{C^2} = A{B^2} + C{B^2}\), а из треугольников ABA1 и CBC1: \(AA_1^2 = A{B^2} + BA_1^2 = A{B^2} + {\left( {\frac{{CB}}{2}} \right)^2}\) и \(CC_1^2 = C{B^2} + BC_1^2 = C{B^2} + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2}.\) Складывая последние два равенства, получим: \(AA_1^2 + CC_1^2 = A{B^2} + \frac{{C{B^2}}}{4} + C{B^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{5}{4}\left( {A{B^2} + C{B^2}} \right) = \frac{5}{4} \cdot A{C^2} = \frac{5}{4} \cdot 144 = 180.\) Ответ: 180.
а) Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины, то есть \(AM = 2M{A_1},\) \(BM = 2M{B_1},\) \(CM = 2M{C_1}.\) По условию задачи \(AC = 3MB.\) Пусть \(M{B_1} = x,\) тогда \(BM = 2x\) и \(AC = 6x.\) Так как медиана \(B{B_1} = 3x\), проведенная к стороне \(AC = 6x,\) равна её половине, то треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом B. Что и требовалось доказать.