7В. Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC с углом \({30^ \circ }\) при вершине A. Окружность, вписанная в треугольник BMC, касается его сторон BC и BM в точках P и Q.
а) Докажите, что \(PQ\parallel CM.\)
б) Найдите PQ, если AB = 8.
б) Так как AB = 8, то стороны треугольника CMB равны 4, а \(PQ = \frac{{CM}}{2} = \frac{4}{2} = 2.\) Ответ: 2.
a) По условию треугольник ABC – прямоугольный, значит CM = MB = AM, так как CM – медиана, проведённая к гипотенузе. \(\angle CBA\,\, = \,\,{90^ \circ }\,\, — \,\,{30^ \circ }\,\, = \,\,{60^ \circ }\). Так как CM = MB, то \(\angle CBA\,\, = \,\,\angle MCB\,\, = \,\,{60^ \circ }.\) Тогда \(\angle CMB = {60^\circ },\) а треугольник CMB – равносторонний. Поэтому точки касания P и Q вписанной окружности в треугольник CMB являются серединами сторон BC и BM соответственно, а отрезок PQ средней линией, который параллелен стороне CM, что и требовалось доказать.