8В. Точка E расположена вне квадрата ABCD с центром O, причём треугольник BEC прямоугольный \(\left( {\angle E = {{90}^ \circ }} \right)\) и неравнобедренный. Точка M — середина стороны BC.
а) Докажите, что треугольник OME равнобедренный.
б) Прямая EO пересекает сторону AD квадрата в точке K. Найдите отношение AK : KD, если \(\angle CBE = {30^ \circ }.\)
б) Так как \(BC\parallel AD,\) то \(\dfrac{{NC}}{{BN}} = \dfrac{{AK}}{{KD}}\). Рассмотрим четырехугольник BOCE: \(\angle BOC\, + \,\angle BEC\,\, = \,\,{180^ \circ }\). Следовательно, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Так как OB = OC (половины диагоналей квадрата), то вписанные углы BEO и CEO равны. Следовательно, EN – биссектриса угла E. Пусть EC = x. Тогда по определению тангенса из треугольника ECB: \({\rm{tg}}\,{30^\circ } = \dfrac{{CE}}{{BE}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{x}{{BE}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BE = x\sqrt 3 .\) По свойству биссектрисы: \(\dfrac{{NC}}{{BN}}\,\, = \,\,\dfrac{{EC}}{{BE}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{NC}}{{BN}} = \dfrac{x}{{x\sqrt 3 }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{NC}}{{BN}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\) Следовательно, \(\dfrac{{AK}}{{KD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\) Ответ: \(\sqrt 3 \,\,:\,\,3\).
а) Точка M – середина BC (по условию). Значит ME = MC = BM (так как EM медиана в прямоугольном треугольнике BEC). Так как O центр квадрата, то треугольник BOC прямоугольный и MO = MC = BM. Значит MO = ME и треугольник MOE равнобедренный. Что и требовалось доказать.