а) Точка M – середина BC (по условию). Значит ME = MC = BM (так как EM медиана в прямоугольном треугольнике BEC). Так как O центр квадрата, то треугольник BOC прямоугольный и MO = MC = BM. Значит MO = ME и треугольник MOE равнобедренный. Что и требовалось доказать.
б) Так как \(BC\parallel AD,\) то \(\frac{{NC}}{{BN}} = \frac{{AK}}{{KD}}\). Рассмотрим четырехугольник BOCE: \(\angle BOC\, + \,\angle BEC\,\, = \,\,{180^ \circ }\). Следовательно, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Так как OB = OC (половины диагоналей квадрата), то вписанные углы BEO и CEO равны. Следовательно, EN – биссектриса угла E.
Пусть EC = x. Тогда по определению тангенса из треугольника ECB:
\({\rm{tg}}\,{30^\circ } = \frac{{CE}}{{BE}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{BE}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BE = x\sqrt 3 .\)
По свойству биссектрисы:
\(\frac{{NC}}{{BN}}\,\, = \,\,\frac{{EC}}{{BE}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{NC}}{{BN}} = \frac{x}{{x\sqrt 3 }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{NC}}{{BN}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Следовательно, \(\frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Ответ: \(\sqrt 3 \,\,:\,\,3\).