9В. Две стороны треугольника равны 1 и 5, площадь треугольника равна 2. Медиана, проведённая к его третьей стороне, меньше её половины.
а) Докажите, что треугольник тупоугольный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
б) Пусть \(\angle ABC = {\rm{\alpha }}\). \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5 \cdot \sin \alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin \alpha = \frac{4}{5}.\) По основному тригонометрическому тождеству: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos \alpha = \pm \sqrt {1 — {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{3}{5}.\) Так как \(\alpha \,\, > \,\,{90^ \circ }\), то \(\cos \alpha \,\, = — \frac{3}{5}.\) Найдем AC по теореме косинусов из треугольника ABC: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \alpha \,\, = 1 + 25 — 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot \left( { — \frac{3}{5}} \right) = 32\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,AC = \sqrt {32} .\) По теореме синусов для треугольника ABC: \(\frac{{AC}}{{\sin \alpha }} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{5\sqrt {32} }}{4} = 2R\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,R = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}.\) Ответ: \(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
а) Пусть AB = 1, BC = 5. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD делятся точкой пересечения M пополам, значит, ABCD — параллелограмм. Так как медиана BM меньше половины стороны AC, то диагональ параллелограмма BD меньше диагонали AC. В треугольниках ABC и BAD AB = CD = 1, BC = AD = 5, но \(AC > BD.\) Следовательно, \(\angle ABC > \angle BAD.\) Так как \(\angle ABC + \angle BAD = {180^\circ }\) (односторонние углы параллелограмма), то \(\angle ABC > {90^\circ }\) и треугольник ABC является тупоугольным. Что и требовалось доказать.