а) Так как по условию \(\angle BAC = \angle CDB\), то около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, следовательно, ABCD – равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим треугольник OAD: \(OA = OD,\,\,\,\angle OAD = \angle ODA = \dfrac{{{{180}^ \circ }-{{90}^ \circ }}}{2} = {45^ \circ }\) (из суммы углов треугольника).
\(\angle BAD = \angle CDA = \dfrac{{{{180}^ \circ }-{{30}^ \circ }}}{2} = {75^ \circ }.\)
Тогда \(\angle BAC = \angle CDB = {75^ \circ }-{45^ \circ } = {30^ \circ }.\)
Следовательно, треугольники AKC и DKB равнобедренные, поэтому \(AC = CK = BD = BK.\)
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin {90^ \circ } = \dfrac{1}{2} \cdot C{K^2} = 30\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,CK = \sqrt {60} .\)
\({S_{KBC}} = \dfrac{1}{2} \cdot CK \cdot KB \cdot \sin {30^ \circ } = \dfrac{1}{2} \cdot C{K^2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot {\left( {\sqrt {60} } \right)^2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{60}}{4} = 15.\)
Тогда искомая площадь: \({S_{AKD}} = {S_{ABCD}} + {S_{KBC}} = 30 + 15 = 45.\)
Ответ: 45.