10В. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD — ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причём AM : MB = 2 : 1. Найдите диагональ AC, если \(AD = \sqrt 6 .\)
б) По свойству секущих: \(BO \cdot BD = BM \cdot BA.\) Пусть \(BO = OD = y,\,\,\,AM = 2x,\,\,\,BM = x.\) Тогда \(y \cdot 2y = x \cdot 3x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2{y^2} = 3{x^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = \frac{{x\sqrt 6 }}{2}.\) Значит: \(AD = AB = \sqrt 6 = 3x,\) тогда \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 1.\) В прямоугольном треугольнике ADO найдем AO по теореме Пифагора, причем \(AO = \frac{1}{2}AC.\) \(AO = \sqrt {A{D^2}-O{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}-{1^2}} = \sqrt 5 .\) Тогда \(AC = 2AO = 2\sqrt 5 .\) Ответ: \(2\sqrt 5 .\)
а) Так как в окружность вписан треугольник ADO и его сторона AD – диаметр, то треугольник AOD – прямоугольный, с \(\angle AOD = {90^ \circ }.\) Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, следовательно, параллелограмм ABCD – ромб. Что и требовалось доказать.