а) \(BM = MD\) по условию, следовательно, BMD – равнобедренный треугольник, поэтому \(\angle MBD = \angle BDM = \alpha .\) Так как ABCD – прямоугольник, то \(BC\parallel AD,\) значит, \(\angle MDB = \angle CBD\) (как накрест лежащие). Рассмотрим треугольник AOD: \(AO = OD\) (так как в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, причем \(AC = BD\)), следовательно, треугольник AOD – равнобедренный. Тогда \(\angle OAD = \angle ODA = \alpha .\) Теперь обратим внимание на то, что \(\angle BAD = {90^ \circ },\) значит, \(\angle BAC = {90^ \circ }-\alpha .\) Тогда в прямоугольном треугольнике ABK, исходя из суммы углов треугольника, получаем, что \(\angle ABK = {180^ \circ }-({90^ \circ }-\alpha )-{90^ \circ } = \alpha .\) Что и требовалось доказать.
б) Так как \(\angle ABC = {90^ \circ } = 3\alpha ,\) тогда получаем, что \(\alpha = \dfrac{{{{90}^ \circ }}}{3} = {30^ \circ }.\) Рассмотрим треугольник ABD: \(tg\alpha = \dfrac{{AB}}{{AD}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{AB}}{{6\sqrt {21} }}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,AB = \dfrac{{6\sqrt {21} \cdot \sqrt 3 }}{3} = 6\sqrt 7 .\)
Тогда в треугольнике ABM: \(tg\alpha = \dfrac{{AM}}{{AB}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AM = AB \cdot tg\alpha = 6\sqrt 7 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt {21.} \) Значит, \(MD = AD-AM = 6\sqrt {21} -2\sqrt {21} = 4\sqrt {21} .\)
Найдем площадь треугольника ACM: \({S_{ACM}} = \dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt {21} \cdot 6\sqrt 7 = 42\sqrt 3 .\) В данном треугольнике MO – медиана, тогда \({S_{AOM}} = {S_{COM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2} \cdot 42\sqrt 3 = 21\sqrt 3 .\) Рассмотрим искомое расстояние OH через треугольник COM как высоту данного треугольника и найдем его по формуле площади, но для начала найдем сторону CM по теореме Пифагора из треугольника CDM:
\(CM = \sqrt {M{D^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{\left( {4\sqrt {21} } \right)}^2} + {{\left( {6\sqrt 7 } \right)}^2}} = 14\sqrt 3 .\)
Тогда, \({S_{COM}} = \dfrac{1}{2} \cdot OH \cdot CM = 21\sqrt 3 \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,OH = \dfrac{{2{S_{COM}}}}{{CM}} = \dfrac{{2 \cdot 21\sqrt 3 }}{{14\sqrt 3 }} = 3.\)
Ответ: \(3.\)