12В (ЕГЭ 2014). Диагональ \(AC\) разбивает трапецию \(ABCD\) с основанием \(AD\) и \(BC,\) из которых \(AD\) большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что \(\angle ABC = \angle ACD.\)
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что \(BC = 18,\) \(AD = 50\) и \(\cos \angle CAD = \dfrac{3}{5}.\)
Решение
а) Прямые AD и BC параллельны, поэтому \(\angle ACB = \angle CAD.\) Предположим, что \(\angle BAC = \angle ACD.\) Тогда получается, что прямые AB и CD – параллельные, а следовательно, ABCD – параллелограмм, что недопустимо, так как у нас трапеция. Тогда \(\angle ABC = \angle ACD.\) Что и требовалось доказать.
б) Так как треугольники ABC и ACD подобны, то \(\dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AC = \sqrt {BC \cdot AD} = \sqrt {18 \cdot 50} = 30.\) Из вершины C опустим перпендикуляр CK на основание AD. Рассмотрим треугольник ACK: \(\cos \angle CAD = \dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{3}{5}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AK = \dfrac{{3AC}}{5} = \dfrac{{3 \cdot 30}}{5} = 18.\) Получается, что \(BC = AK = 18,\) следовательно, ABCK – прямоугольник. Тогда, по теореме Пифагора из треугольника ACK: \(CK = \sqrt {A{C^2}-A{K^2}} = \sqrt {{{30}^2}-{{18}^2}} = 24.\) Пусть N и H – середины оснований трапеции AD и BC соответственно, HM – перпендикуляр, опущенный из H на основание AD. Значит, ABHM – прямоугольник, тогда:
\(MH = CK = 24,\,\,\,NM = AN-AM = AN-BH = \dfrac{{50}}{2}-\dfrac{{18}}{2} = 16.\)
Из прямоугольного треугольника MNH по теореме Пифагора находим искомый отрезок:
\(HN = \sqrt {M{H^2} + N{M^2}} = \sqrt {{{24}^2} + {{16}^2}} = 8\sqrt {13} .\)
Ответ: \(8\sqrt {13} .\)