Профиль №17. Многоугольники. Задача 13Вmath100admin44242025-04-01T09:21:45+03:00
13В (ЕГЭ 2017). Точки \(E\) и \(K\) — соответственно середины сторон \(CD\) и \(AD\) квадрата \(ABCD.\) Прямая \(BE\) пересекается с прямой \(CK\) в точке \(O.\)
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника \(ABOK\) можно описать окружность.
б) Найдите \(AO,\) если сторона квадрата равна \(1.\)
Решение
а) Треугольники BCE и CDK равны по двум катетам (\(BC = CD\) как стороны квадрата, \(CE = KD\) как половины сторон квадрата), следовательно, \(\angle CBE = \angle KCD = \alpha .\) Тогда, \(\angle BCK = \angle BCE-\angle KCD = {90^ \circ }-\alpha ,\) значит, из суммы углов треугольника BCO:
\(\angle BOC = {180^ \circ }-\angle CBO-\angle OCB = {180^ \circ }-\alpha -({90^ \circ }-\alpha ) = {90^ \circ }.\)
Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника ABOK равна \({180^ \circ }\), поэтому вокруг него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.
б) Продолжим стороны AB и CK до их пересечения в точке T. Отрезок \(AK = \dfrac{{BC}}{2},\) поэтому он является средней линией треугольника TBC. Значит, точка A является серединой отрезка BT и OA является медианой, проведенной к гипотенузе BT в прямоугольном треугольнике TOB. Следовательно, \(OA = \dfrac{{BT}}{2} = \dfrac{{2AB}}{2} = AB = 1.\)
Ответ: \(1.\)