Профиль №17. Многоугольники. Задача 14В

14В. Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию ABCD с боковой стороной AB.

а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.

б) Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1 : 4.

Ответ

ОТВЕТ: \(20.\)

Решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO, BO — биссектрисы углов DAB и CBA, сумма которых равна \({180^ \circ }\), значит, \(\angle OAB + OBA = {90^ \circ }\) и

\(\angle AOB = {180^ \circ }-(\angle OAB + \angle OBA) = {180^ \circ }-{90^ \circ } = {90^ \circ }.\)

Следовательно, треугольник ABO – прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Пусть \(BK = BT = x,\,\,\,AK = AP = 4x\) (как касательные), \(PT = BH = 4.\) Рассмотрим треугольник ABH: \(AH = \dfrac{{AD-BC}}{2} = \dfrac{{8x-2x}}{2} = 3x.\) Найдем \(x\) по теореме Пифагора из треугольника ABH:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,25{x^2} = 16 + 9{x^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,16{x^2} = 16\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1.\)

Теперь найдем искомую площадь: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{AD + BC}}{2} \cdot BH = \dfrac{{8 + 2}}{2} \cdot 4 = 20.\)

Ответ: \(20.\)