а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO, BO — биссектрисы углов DAB и CBA, сумма которых равна \({180^ \circ }\), значит, \(\angle OAB + OBA = {90^ \circ }\) и
\(\angle AOB = {180^ \circ }-(\angle OAB + \angle OBA) = {180^ \circ }-{90^ \circ } = {90^ \circ }.\)
Следовательно, треугольник ABO – прямоугольный. Что и требовалось доказать.
б) Пусть \(BK = BT = x,\,\,\,AK = AP = 4x\) (как касательные), \(PT = BH = 4.\) Рассмотрим треугольник ABH: \(AH = \frac{{AD-BC}}{2} = \frac{{8x-2x}}{2} = 3x.\) Найдем \(x\) по теореме Пифагора из треугольника ABH:
\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,25{x^2} = 16 + 9{x^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,16{x^2} = 16\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1.\)
Теперь найдем искомую площадь: \({S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot BH = \frac{{8 + 2}}{2} \cdot 4 = 20.\)
Ответ: \(20.\)