15В. Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию ABCD с боковой стороной AB. Прямые AO и BC пересекаются в точке E.
а) Докажите, что O — середина AE.
б) Найдите радиус окружности, если AB = 30, \(BO = 3\sqrt {10} .\)
б) Рассмотрим треугольник ABO. Найдём AO по теореме Пифагора: \(AO = \sqrt {A{B^2}-B{O^2}} = \sqrt {{{30}^2}-{{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2}} = 9\sqrt {10} .\) Так как OP – высота в прямоугольном треугольнике ABO, тогда: \(OP = \frac{{AO \cdot BO}}{{AB}} = \frac{{9\sqrt {10} \cdot 3\sqrt {10} }}{{30}} = 9.\) Ответ: \(9.\)
а) Известно, что центр вписанной в трапецию окружности находится на пересечении биссектрис, пусть это будут биссектрисы AO и BO. Так как \(AD\parallel BE\), то \(\angle BEA = \angle EAD = \beta \) (как накрест лежащие углы) и \(\angle BAE = \angle EAD = \beta \) (так как AO биссектриса \(\angle DAB\)). Следовательно, треугольник ABE – равнобедренный. В данном треугольнике BO – высота, медиана, биссектриса, значит, \(AO = OE.\) Что и требовалось доказать.