16В. Через вершину B трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведена прямая, параллельная диагонали AC. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD в точке E.
а) Докажите, что треугольник DBE равновелик трапеции ABCD.
б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 24, а средняя линия равна 13.
Решение
а) Опустим из вершины B перпендикуляр BH, который будет являться высотой для треугольника EBD и трапеции ABCD. Так как \(AE\parallel BC,\,\,\,BE\parallel AC,\) то AEBC – параллелограмм и \(AE = BC.\) Тогда: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{BC + AD}}{2} \cdot BH,\,\,\,{S_{EBD}} = \dfrac{1}{2} \cdot ED \cdot BH,\) причём \(ED = AE + AD = BC + AD.\) Следовательно, \({S_{EBD}} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {BC + AD} \right) \cdot BH\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{S_{ABCD}} = {S_{EBD}}.\) Что и требовалось доказать.
б) Так как \(\dfrac{{BC + AD}}{2} = 13\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,BC + AD = 26,\) то \(ED = BC + AD = 26.\) Пусть диагонали AC и BD равны 10 и 24 соответственно, тогда: \(BE = AC = 10.\) По обратной теореме Пифагора: \(D{B^2} + B{E^2} = {24^2} + {10^2} = {26^2} = E{D^2}.\) Следовательно, треугольник EBD – прямоугольный с прямым \(\angle DBE.\) Таким образом, \({S_{EBD}} = \dfrac{1}{2} \cdot BE \cdot BD = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 = {S_{ABCD}}.\)
Ответ: \(120.\)