17В. Боковая сторона CD трапеции ABCD равна основанию AD.
а) Докажите, что CA — биссектриса угла BCD.
б) Прямая, проходящая через вершину C перпендикулярно CD, пересекает боковую сторону AB в точке M. Найдите отношение BM : AM, если известно, что AD = CD = 2BC и ∠ADC = 60°.
б) В прямоугольном треугольнике COD: \(\angle COD = {180^ \circ }-\angle OCD-\angle CDO = {180^ \circ }-{90^ \circ }-{60^ \circ } = {30^ \circ }.\) Треугольник ACD – равносторонний, так как \(\angle CAD = \angle ACD = \angle ADC = {60^ \circ }.\) Пусть \(BC = x,\) тогда: \(AC = CD = AD = 2x,\,\,\,OD = 4x,\,\,\,OA = OD-AD = 4x-2x = 2x.\) Треугольники BMC и AMO – подобные (по двум углам: \(\angle BMC = \angle OMA\) как вертикальные, \(\angle CBM = \angle OAM\) как накрест лежащие). Следовательно, \(\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{OA}} = \frac{x}{{2x}} = \frac{1}{2}.\) Ответ: \(1:2.\)
а) Так как \(CD = AD,\) то треугольник ACD – равнобедренный с основанием AC. Тогда: \(\angle CAD = \angle ACD.\) Так как \(AD\parallel BC,\) то \(\angle ACB = \angle CAD\) как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle ACD = \angle ACB\) и AC является биссектрисой угла BCD. Что и требовалось доказать.